Phương trình tổng quát của đường thẳng
Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng $ax+by+c=0$ với $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0.$ Ngược lại, mỗi phương trình $ax+by+c=0$ với $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$ đều là phương trình của một đường thẳng, nhận $overrightarrow{n}left( a;b right)$ là một véctơ pháp tuyến.
Cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $Aleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ và có véctơ pháp tuyến $overrightarrow{n}left( a;b right).$ Khi đó điểm $Mleft( x;y right)$ thuộc đường thẳng $d$ khi và chỉ khi $overrightarrow{AM}bot overrightarrow{n}Leftrightarrow overrightarrow{AM}.overrightarrow{n}=0Leftrightarrow aleft( x-{{x}_{0}} right)+bleft( y-{{y}_{0}} right)=0.$
Hai véctơ $overrightarrow{n}left( a;b right)$ và $overrightarrow{u}left( -b;a right)$ vuông góc với nhau, do đó đường thẳng $ax+by+c=0$ có véctơ pháp tuyến $overrightarrow{n}left( a;b right)$ và véctơ chỉ phương $overrightarrow{u}left( -b;a right).$
Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $Aleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ và có véctơ chỉ phương $overrightarrow{u}left( a;b right).$ Khi đó điểm $Mleft( x;y right)$ thuộc đường thẳng $d$ khi và chỉ khi tồn tại số thực $t$ sao cho $overrightarrow{AM}=t.overrightarrow{u}$ hay $left{ begin{gathered} x = {x_0} + at hfill y = {y_0} + bt hfill end{gathered} right.$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng.
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Trong mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng ${{d}_{1}}:{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0$ và ${{d}_{2}}:{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0.$
Khi đó toạ độ giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ là nghiệm của hệ [left{ begin{gathered} {a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0 hfill {a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0 hfill end{gathered} right.{text{ }}left( * right).]
+ ${{d}_{1}}$ cắt ${{d}_{2}}$ tại $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)Leftrightarrow left( * right)$ có nghiệm duy nhất $left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right).$
+ ${{d}_{1}}$ song song với ${{d}_{2}}$ $Leftrightarrow left( * right)$ vô nghiệm.
+ ${{d}_{1}}$ trùng với ${{d}_{2}}$ $Leftrightarrow left( * right)$ có vô số nghiệm.
Dựa vào các véctơ chỉ phương $overrightarrow{{{u}_{1}}},text{ }overrightarrow{{{u}_{2}}}$ và véctơ pháp tuyến $overrightarrow{{{n}_{1}}},text{ }overrightarrow{{{n}_{2}}}$ của ${{d}_{1}},text{ }{{d}_{2}}$ ta có:
Góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng cắt nhau tại thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là góc giữa hai đường thẳng.
Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng ${{0}^{0}}.$
Trong mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng ${{d}_{1}}:{{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}=0$ và ${{d}_{2}}:{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}=0$ với các véctơ pháp tuyến lần lượt là $overrightarrow{{{n}_{1}}}left( {{a}_{1}};{{b}_{1}} right)$ và $overrightarrow{{{n}_{2}}}left( {{a}_{2}};{{b}_{2}} right).$
Khi đó góc $varphi $ giữa hai đường thẳng này được xác định theo công thức $cos varphi =left| cos left( overrightarrow{{{n}_{1}}},overrightarrow{{{n}_{2}}} right) right|=dfrac{left| {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}} right|}{sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}.$
+ ${{d}_{1}}bot {{d}_{2}}Leftrightarrow overrightarrow{{{n}_{1}}}bot overrightarrow{{{n}_{2}}}Leftrightarrow {{a}_{1}}{{a}_{2}}+{{b}_{1}}{{b}_{2}}=0.$
+ Nếu ${{d}_{1}},text{ }{{d}_{2}}$ có các véctơ chỉ phương lần lượt là $overrightarrow{{{u}_{1}}},text{ }overrightarrow{{{u}_{2}}}$ khi đó $varphi $ giữa hai đường thẳng này cũng được xác định theo công thức $cos varphi =left| cos left( overrightarrow{{{u}_{1}}},overrightarrow{{{u}_{2}}} right) right|.$
Hệ số góc của đường thẳng
+ Đường thẳng $d:y=ax+b$ có hệ số góc ${{k}_{d}}=a.$
+ Hệ số góc của đường thẳng qua hai điểm $Aleft( {{x}_{A}};{{y}_{A}} right),Bleft( {{x}_{B}};{{y}_{B}} right)$ là ${{k}_{AB}}=dfrac{{{y}_{B}}-{{y}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}.$
+ Đường thẳng $d$ qua điểm $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình là $y=kleft( x-{{x}_{0}} right)+{{y}_{0}}.$
Áp dụng: Đường thẳng qua hai điểm $left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} right),left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} right)$ với ${{x}_{2}}ne {{x}_{1}}$ là $y=dfrac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}left( x-{{x}_{1}} right)+{{y}_{1}}.$
Xét hai đường thẳng ${{d}_{1}}:y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}}$ và ${{d}_{2}}:y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}}.$
+ Điều kiện để ${{d}_{1}}bot {{d}_{2}}Leftrightarrow {{a}_{1}}.{{a}_{2}}=-1.$
+ Điều kiện để ${{d}_{1}}||{{d}_{2}}Leftrightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}wedge {{b}_{1}}ne {{b}_{2}}.$
+ Điều kiện để ${{d}_{1}}equiv {{d}_{2}}Leftrightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}wedge {{b}_{1}}={{b}_{2}}.$
+ Điều kiện để ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ cắt nhau là ${{a}_{1}}ne {{a}_{2}}.$
Điều kiện để hai điểm đối xứng với nhau qua đường thẳng
Hai điểm $A,B$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $dLeftrightarrow ABbot d$ và trung điểm $I$ của $AB$ thuộc $d.$
Điều kiện để hai điểm nằm về cùng một phía, nằm khác phía đối với đường thẳng
Xét đường thẳng $d:ax+by+c=0$ và hai điểm $Aleft( {{x}_{A}};{{y}_{A}} right),Bleft( {{x}_{B}};{{y}_{B}} right)$
+ Hai điểm $A,B$ nằm về cùng một phía đối với đường thẳng $dLeftrightarrow left( a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c right)left( a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c right)>0.$
+ Hai điểm $A,B$ nằm khác phía đối với đường thẳng $dLeftrightarrow left( a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c right)left( a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c right)<0.$
Các trường hợp đặc biệt:
+ Hai điểm $A,B$ nằm về cùng một phía đối với đường thẳng $d$ và cách đều đường thẳng $dLeftrightarrow AB||d.$
+ Hai điểm $A,B$ nằm khác phía đối với đường thẳng $d$ và cách đều đường thẳng $dLeftrightarrow d$ qua trung điểm của $AB.$
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Xét đường thẳng $d:ax+by+c=0$ và điểm $Mleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$
Khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d$ được xác định theo công thức $dleft( M,d right)=dfrac{left| a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}+c right|}{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}.$
Phương trình chính tắc của đường tròn
Đường tròn $left( C right)$ có tâm $Ileft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ bán kính $R$ có phương trình chính tắc dạng ${{left( x-{{x}_{0}} right)}^{2}}+{{left( y-{{y}_{0}} right)}^{2}}={{R}^{2}}.$
Phương trình tổng quát của đường tròn
Phương trình dạng ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>c$ là phương trình tổng quát của đường tròn có tâm $Ileft( a;b right)$ bán kính $R=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-c}.$
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn
Xét đường thẳng $d:ax+by+c=0$ và đường tròn $left( C right)$ có tâm $Ileft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)$ bán kính $R.$
+ Nếu $dleft( I,d right)>R$ thì $d$ và $left( C right)$ không có điểm chung.
+ Nếu $dleft( I,d right)=R$ thì $d$ và $left( C right)$ có đúng một điểm chung $H,$ lúc này $d$ gọi là tiếp tuyến của $left( C right)$ và $H$ gọi là tiếp điểm.
+ Nếu $dleft( I,d right)<R$ thì $d$ và $left( C right)$ có hai điểm chung phân biệt $A,B$ và $AB=2sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}left( I,d right)}.$
Khi đó với điểm $M$ tuỳ ý nằm trên $d$ luôn có $MA.MB=left| M{{I}^{2}}-{{R}^{2}} right|.$
Vị trí tương đối giữa hai đường tròn
Xét đường tròn $left( {{C}_{1}} right)$ có tâm ${{I}_{1}}$ bán kính ${{R}_{1}}$ và đường tròn $left( {{C}_{2}} right)$ có tâm ${{I}_{2}}$ bán kính ${{R}_{2}}.$
+ Nếu ${{I}_{1}}{{I}_{2}}>{{R}_{1}}+{{R}_{2}}Rightarrow left( {{C}_{1}} right),left( {{C}_{2}} right)$ không có điểm chung và nằm ngoài nhau.
+ Nếu ${{I}_{1}}{{I}_{2}}={{R}_{1}}+{{R}_{2}}Rightarrow left( {{C}_{1}} right),left( {{C}_{2}} right)$ có đúng một điểm chung $H$ và được gọi là tiếp xúc ngoài với nhau tại tiếp điểm $H$ và $overrightarrow{{{I}_{1}}H}=-dfrac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}.overrightarrow{{{I}_{2}}H}.$
+ Nếu ${{I}_{1}}{{I}_{2}}=left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} right|Rightarrow left( {{C}_{1}} right),left( {{C}_{2}} right)$ có đúng một điểm chung $H$ và được gọi là tiếp xúc trong với nhau tại tiếp điểm $H$ và $overrightarrow{{{I}_{1}}H}=dfrac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}.overrightarrow{{{I}_{2}}H}.$
+ Nếu $left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} right|<{{I}_{1}}{{I}_{2}}<{{R}_{1}}+{{R}_{2}}Rightarrow left( {{C}_{1}} right),left( {{C}_{2}} right)$ có hai điểm chung phân biệt $A,B.$
+ Nếu ${{I}_{1}}{{I}_{2}}<left| {{R}_{1}}-{{R}_{2}} right|Rightarrow left( {{C}_{1}} right),left( {{C}_{2}} right)$ không có điểm chung và một đường tròn chứa đường tròn còn lại.
Link đăng ký: https://bit.ly/3Xd5EA5
PRO X: Luyện thi THPT 2024 Môn Toán (Luyện mọi dạng bài từ cơ bản đến 9 điểm)
XMAX: Luyện mọi dạng bài vận dụng cao Môn Toán 2024 (Mức 9+)
LIVE X: Tổng ôn kiến thức và chữa đề dự đoán 2024 Môn Toán (100 ngày)
XPLUS: Luyện giải đề thi THPT 2024 Môn Toán
Các khoá học được sử dụng kể từ ngày đăng kí đến khi kì thi THPT 2024 kết thúc.
