Toán 8 – Khái niệm về hai tam giác đồng dạng

Kiến thức về hai tam giác đồng dạng là nội dung cơ bản trong chương trình Hình học lớp 8. Bài viết dưới đây sẽ lý giải cho các em hai tam giác đồng dạng là gì? Có những trường hợp nào? Cùng một số ví dụ minh họa dễ hiểu giúp các em nắm chắc kiến thức. Hãy cùng Cmath tìm hiểu nhé!

Tổng quát về hai tam giác đồng dạng

Trước khi đi vào cụ thể từng trường hợp chứng minh hai tam giác đồng dạng, các em cần nghiên cứu khái niệm, định lý và tính chất của hai tam giác đồng dạng.

Định lý

Hai tam giác A’B’C’ và ABC gọi là hai tam giác đồng dạng nếu:

A’ = A; B’ = B; C’ = C

A’B’ / AB = A’C’ / AC = B’C’ / BC

Kí hiệu: Δ A’B’C’ ∼ Δ ABC.

Tỉ số các cạnh tương ứng là: A’B’ / AB = A’C’ / AC = B’C’ / BC = k gọi là tỉ số đồng dạng.

Lưu ý: Khi viết kí hiệu đồng dạng, ta viết theo thứ tự các cặp đỉnh tương ứng.

Định lý:

Trong một tam giác, nếu có một đường thẳng cắt hai cạnh và song song với cạnh thứ ba thì tam giác mới tạo thành đồng dạng với tam giác ban đầu.

Tính chất

• Một tam giác sẽ đồng dạng với chính tam giác đó.
• Nếu tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC thì ta cũng có thể nói tam giác ABC cũng đồng dạng với tam giác A’B’C’.
• Nếu hai tam giác A’’B’’C’’ và A’B’C’ đồng dạng và ta cũng có hai tam giác A’’B’’C’’ và ABC đồng dạng thì tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC.

Ví dụ 1: Biết tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’, có: AB = 5; AC = 7; BC = 9; A’B’ = 10. Hãy tính chu vi tam giác A’B’C’.

Lời giải:

Vì hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng với nhau nên ta có:

A’B’ / AB = A’C’ / AC = B’C’ / BC = 10/5 = 2

=> A’C’ = 2AC = 2.7 = 14.

=> B’C’ = 2BC = 2.9 = 18.

PA’B’C’ = A’B’ + B’C’ + C’A’ = 10 + 18 + 14 = 42.

Vậy chu vi tam giác A’B’C’ = 42.

Ví dụ 2: Hai tam giác vuông ABC và DEF đồng dạng với nhau có tỉ số AB/DE = k thì tỉ số diện tích của chúng là bao nhiêu?

Lời giải:

Ta giả sử tam giác ABC vuông tại C, tam giác DEF vuông tại F.

Vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF nên ta có:

AC/DF = BC/FE = AB/DE = k

Suy ra: SABC/SDEF = (1/2.AC.BC)/(1/2.DF.FE) = (AC/DF).(BC/FE) = k.k = k2.

Trường hợp đồng dạng thứ nhất

Định lý:

Hai tam giác đồng dạng nếu ba cạnh của tam giác này lần lượt tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia.

A’B’ / AB = A’C’ / AC = B’C’ / BC => Δ ABC ~ Δ A’B’C’

Trường hợp đồng dạng này được ghi tóm tắt là trường hợp c.c.c.

Ví dụ 1: Hai tam giác các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng không?

a) 4 cm; 5 cm; 6 cm và 8 mm; 10 mm; 12 mm.

b) 3 cm; 4 cm; 6 cm và 9 cm; 15 cm; 18 cm.

Lời giải:

a) Ta đưa số đo các cạnh về cùng đơn vị đo

Ta có: 40/8 = 50/10 = 60/12 = 5

Suy ra: Hai tam giác trên đồng dạng với nhau (c.c.c)

b) Ta có: 3/9 ≠ 4/15 ≠ 9/18

Suy ra: Hai tam giác này không đồng dạng với nhau.

Ví dụ 2: Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm và tam giác A’B’C’ vuông tại A’ có A’B’ = 9 cm, B’C’ = 15 cm. Hãy chứng minh rằng hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng với nhau.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có góc A bằng 90o ta có:

AB2 + AC2 = BC2

=> BC2 = 62 + 82

=> BC2 = 100

=> BC = 10 (cm)

Xét tam giác A’B’C’ vuông tại A’ ta có:

A’B’2 + A’C’2 = B’C’2

=> A’C’2 = 152 - 92

=> A’C’2 = 144

=> A’C’ = 12 (cm)

Mà ta lại có: AB/A’B’ = AC/A’C’ = BC/B’C’ = 2/3

Suy ra: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo trường hợp c.c.c

Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD (AB //CD). O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh hai tam giác OAB và OCD đồng dạng với nhau.

Lời giải:

Xét tam giác OCD có AB // CB (theo giả thiết) nên ta có:

AB/CD = OA/OC = OB/OD

Ta có:

AB/CD = OA/OC = OB/OD

Do đó: tam giác OAB đồng dạng với tam giác OCD (c.c.c)

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh hai tam giác ADE và ABC đồng dạng với nhau.

Lời giải:

Ta có: E là trung điểm của cạnh AC, D là trung điểm của cạnh AB

=> DE // BC

Xét tam giác ABC có DE cắt AB và AC, DE // BC

=> Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC (theo định lý)

Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD có AB = 12 cm, BC = 6 cm, CD = 30 cm; AD = 37,5 cm, AC = 15 cm. Chứng minh ABCD là hình thang.

Lời giải:

Ta có:

BC/AC = 6/15 = 2/5

BA/CD = 12/30 = 2/5

CA/AD = 15/37,5 = 2/5

Suy ra: BC/AC = BA/CD = CA/AD

Xét tam giác CBA và tam giác ACD có:

BC/AC = BA/CD = CA/AD (chứng minh trên)

Do đó: Tam giác CBA đồng dạng với tam giác ACD (c.c.c)

Vì tam giác CBA đồng dạng với tam giác ACD nên: Góc BCA = Góc CAD

Mà hai góc này lại ở vị trí so le trong tạo bởi cạnh CA cắt hai cạnh BC và AD.

Suy ra: BC // AD

Xét tứ giác ABCD có BC // AD (chứng minh trên)

Suy ra ABCD là hình thang.

Trường hợp đồng dạng thứ hai

Cho hai tam giác ABC và DEF có kích thước như hình dưới đây:

• So sánh các tỷ số: AB/DE và AC/DF.
• Đo các đoạn thẳng BC, EF. Tính tỉ số BC/EF. So sánh tỉ số này với các tỉ số trên và dự đoán hai tam giác ABC và DEF có đồng dạng với nhau hay không?

Ta có:

AB/DE = AC/DF = 1/2

Ta có: BC = 6; EF = 12

BC/EF = 1/2

AB/DE = AC/DF = BC/EF = 1/2

Dự đoán: ABC đồng dạng với DEF.

Định lý:

Nếu hai tam giác có hai cạnh lần lượt tỉ lệ và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì ta có hai tam giác đó đồng dạng.

Ví dụ 1: Hãy chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng với nhau trong hình vẽ dưới đây:

Lời giải:

Ta có:

Góc A = Góc D = 70o

AB/AC = DE/DF = 2/3

Suy ra: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF (c.g.c)

Ví dụ 2: Tam giác ABC có BAC = 50 độ, AB = 5 cm, AC = 7,5 cm. Gọi D, E lần lượt là các điểm nằm trên AB, AC sao cho AD = 3cm, AE = 2 cm. Chứng minh hai tam giác AED và ABC đồng dạng với nhau.

Lời giải:

Ta có:

AB/AC = 5/7,5 = 2/3

AE/AD = 2/3

Suy ra: AB/AC = AE/AD

Ta có:

Góc A chung

AB/AC = AE/AD (chứng minh trên)

Do đó: tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED (c.g.c)

Ví dụ 3: Trên một cạnh của góc xOy (xOy < 180 độ), đặt các đoạn thẳng OA = 5 cm, OB = 16 cm. Trên cạnh thứ hai của góc đó lấy hai điểm C và D sao cho: OC = 8cm, OD = 10cm. Chứng minh tam giác OCB đồng dạng với tam giác OAD.

Lời giải:

Ta có:

OA/OC = 5/8

OD/OB = 10/16 = 5/8

=> OA/OC = OD/OB

Ta có:

OA/OC = OD/OB

Góc O chung

Suy ra: Tam giác OCB đồng dạng với tam giác OAD (c.g.c)

Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k thì hai đường trung tuyến tương ứng cũng có tỉ lệ bằng k.

Lời giải:

Gọi AM và A’M’ lần lượt là hai đường trung tuyến của tam giác ABC và tam giác A’B’C’

Xét tam giác ABM và tam giác A’B’M’ có:

Góc ABM = Góc A’B’M’ (tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’)

A’B’/AB = B’C’/BC mà B’C’ = 2B’M’, BC = 2BM

=> Tam giác ABM đồng dạng vói tam giác A’B’M’(c.g.c)

=> A’M’/AM = A’B’/AB = k

=> Điều phải chứng minh.

Tham khảo thêm:

• Tóm tắt nội dung toán lớp 10 cho mọi học sinh
• Toán 7 - Góc ở vị trí đặc biệt và tia phân giác của một góc
• Toán 9 - Cách giải hệ phương trình và những điều bạn nên biết

Tạm kết

Bài viết cung cấp lý thuyết cơ bản về hai tam giác đồng dạng và các trường hợp cụ thể. Hy vọng qua bài viết các em có thể nắm chắc kiến thức và vận dụng thành thạo để giải các bài tập. Chúc các em luôn học tốt và đừng quên theo dõi những bài viết tiếp theo của Cmath!