Là một trong những dạng kiến ​​thức toán học phổ biến, bất đẳng thức Côsi được sử dụng để giải các dạng phương trình, bất phương trình. Vậy bất đẳng thức Cosi là gì và nó được sử dụng như thế nào?

Đừng lo lắng, đội ĐẢO NGƯỢC: Chúng tôi sẽ hướng dẫn các bạn biết bất đẳng thức Cosi là gì và cách sử dụng nó một cách chi tiết, dễ hiểu nhất qua bài viết dưới đây.

I. Thế nào là bất đẳng thức Côsi?

bất bình đẳng vũ trụ hay bất đẳng thức AM-GM là một khái niệm toán học được sử dụng trong các bài toán phổ thông. Trong toán học, bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức so sánh trung bình cộng và trung bình cộng của n số thực không âm (TB cộng với các số thực không âm luôn > hoặc = TB nhân với chúng). Khi n chẵn, TB cộng = TB nhân.

Thực ra có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức này nhưng cách tốt nhất vẫn là chứng minh theo quy nạp Cauchy.

1. SÁNG – GM. bất bình đẳng

2. Bất bình đẳng một phần

3. Bất đẳng thức lẻ đối với 2 số không âm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

4. Bất đẳng thức Côsin cho 3 số không âm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

5. Bất đẳng thức lẻ đối với 4 số không âm

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

6. Bất đẳng thức lẻ đối với số n không âm

với x_{Đầu tiên}x:_2:…, x_N: n là các số thực không âm thì ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x_{Đầu tiên} = x_2: =… = x_N:

* Hệ quả của bất đẳng thức cosin

II. Chứng minh bất đẳng thức cos Cauchy

1. Chứng minh bất đẳng thức Côsi đúng với 2 số thực không âm

Với a = 0 và b = 0 thì bất đẳng thức (1) luôn đúng. Ta chỉ cần chứng minh rằng bất đẳng thức luôn đúng với hai số dương a và b.

2. Chứng minh bất đẳng thức Côsi cho 3 số thực không âm

Rõ ràng a = 0, b = 0, c = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng. Do đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng với 3 số thực dương a, b, c.

3. Chứng minh bất đẳng thức Cauzy với 4 số thực không âm

Dễ thấy bất đẳng thức a = 0, b = 0, c = 0, d = 0 luôn đúng. Bây giờ ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng với 4 số thực dương.

Từ kết quả chứng minh bất đẳng thức đối với 2 số thực không âm, ta có:

4. Chứng minh bất đẳng thức Côsi cho số thực n không âm

Theo chứng minh trên, nếu n = 2 thì bất đẳng thức luôn đúng.

Nếu bất đẳng thức đúng với số n thì nó cũng đúng với số 2n. Chứng minh điều này như sau.

Bằng quy nạp, bất đẳng thức giữ cho n là lũy thừa của 2.

Mặt khác, giả sử bất đẳng thức đúng với n số, ta cũng có thể chứng minh nó đúng với n-1 số như sau.

Theo bất đẳng thức không gian của n số.

Đây là số Cosi(n-1). Vì vậy, chúng tôi có dpcm.

III. Một số bài tập về bất đẳng thức Côsi

1. Bài tập vận dụng bất đẳng thức Cauzy có lời giải

Bài toán 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Phần thưởng:

Bài toán 2: Cho các số thực dương thỏa mãn a, b, c

Phần thưởng:

Bài 3. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện

Phần thưởng:

Chủ đề 4:

Phần thưởng:

Chủ đề 5:

Phần thưởng:

2. Bài tập áp dụng bất đẳng thức Côsi không có lời giải

Bài toán 1. Giải phương trình sau.

Bài toán 2. Giải phương trình sau.

Bài 3. Giải các hệ phương trình sau.

Bài 4: Giải hệ phương trình

Bài 5: Giải hệ phương trình

Bài 6. Xác định số nguyên dương n và các số dương x1, x2,…,xn thỏa mãn:

Bài 7. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

(đề nghị dùng phương pháp trội)

Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau.

(gợi ý: biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cosi)

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Nó lên Công thức bất đẳng thức Côsi và bài tập ứng dụng mà nhóm INVERT của chúng tôi đã biên soạn. Hi vọng qua bài viết này các bạn đã có thể biết đầy đủ bất đẳng thức Cosi là gì và cũng như vận dụng nó để giải bài toán một cách dễ dàng. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, bạn cũng có thể bình luận bên dưới, chúng tôi sẽ giải đáp cho bạn. Chúc may mắn.