Tứ giác nội tiếp là một nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong chương trình môn Toán lớp 9 phần Hình học. Vậy, tứ giác nội tiếp là gì? Làm thế nào để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp. Để có thể trả lời cho những câu hỏi nêu trên, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.
1. Định nghĩa tứ giác nội tiếp
+ Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)
Ví dụ: Hình vẽ dưới đây cho chúng ta hình ảnh của một tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O.
2. Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp
2.1. Chứng minh tứ giác nội tiếp thông qua hai góc đối diện
+ Nếu tổng hai góc đối diện trong một tứ giác bằng 1800 thì tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Ví dụ: Cho tam giác ABC nhọn. AH, BK lần lượt là các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B của tam giác ABC và cắt nhau tại S (H BC; K AC). Chứng minh tứ giác KSHC nội tiếp.
Giải
Xét tứ giác KSHC có:
= 900 + 900 = 1800
Vậy, tứ giác KSHC là tứ giác nội tiếp
2.2. Chứng minh tứ giác nội tiếp thông qua hai góc kề cùng nhìn một cạnh
+ Trong một tứ giác, nếu hai góc kề cùng nhìn một cạnh mà hai góc đó bằng nhau thì tứ giác là tứ giác nội tiếp.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là một điểm nằm giữa hai điểm A và C ( D khác A và C). Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại H. Chứng minh tứ giác BAHC là tứ giác nội tiếp.
Giải
+ Vì tam giác ABC vuông tại A nên = 900
+ Vì đường thẳng qua C vuông góc với BD tại H nên = 900
Suy ra: =
Mà và cùng nhìn cạnh BC
Vậy, tứ giác BAHC là tứ giác nội tiếp.
3. Bài tập về tứ giác nội tiếp
3.1. Bài tập tự luận
Bài 1: Cho tam đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC không chứa điểm A, lấy điểm D sao cho tam giác BDC là tam giác cân tại D và . Hỏi tứ giác ABDC có phải là tứ giác nội tiếp hay không? Tại sao?
ĐÁP ÁN
+ Vì tam giác ABC là tam giác đều nên = 600
+ Vì tam giác BDC cân tại D nên
+ Vì tổng 3 góc trong một tam giác bằng 1800. Áp dụng vào tam giác BDC, ta có:
+ + = 1800
= 1800
= 1800
= 1200
Suy ra: = .1200 = 300
+ Ta có: = 600 + 300 = 900
+ Ta có: = 600 + 300 = 900
+ Xét tứ giác ABCD có:
+ = 900 + 900 =1800
Mà và là hai góc đối diện trong tứ giác ABDC.
Vậy, tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp.
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC. AH, BK, CQ lần lượt là các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Trong đó: H BC, K AC, Q AB. Hãy liệt kê các tứ giác nội tiếp có trong hình và giải thích.
ĐÁP ÁN
(1) Xét tứ giác AQIK có:
= 900 + 900 = 1800
Vậy, tứ giác AQIK là tứ giác nội tiếp.
(2) Xét tứ giác QBHI có:
= 900 + 900 = 1800
Vậy, tứ giác QBHI là tứ giác nội tiếp.
(3) Xét tứ giác IKCH có:
= 900 + 900 = 1800
Vậy, tứ giác IKCH là tứ giác nội tiếp.
(4) Xét tứ giác BQKC có:
= 900
Mà và cùng nhìn cạnh BC.
Vậy, tứ giác BQKC là tứ giác nội tiếp.
(5) Xét tứ giác AKHB có:
= 900
Mà và cùng nhìn cạnh AB.
Vậy, tứ giác AKHB là tứ giác nội tiếp.
(6) Xét tứ giác AQHC có:
= 900
Mà và cùng nhìn cạnh AC.
Vậy, tứ giác AQHC là tứ giác nội tiếp.
Vậy, các tứ giác nội tiếp trong hình là: tứ giác AQIK, tứ giác QBHI, tứ giác IKCH, tứ giác BQKC, tứ giác AKHB, tứ giác AQHC.
Bài 3: Tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp. Biết = 800, = . Tìm các góc còn lại của tứ giác ABCD.
ĐÁP ÁN+ Số đo góc B là:
= .800 = 600
+ Tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp có và là hai góc đối diện nên:
+ = 1800
Suy ra: = 1800 - = 1800 - 800 = 1000
+ Tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp có và là hai góc đối diện nên:
+ = 1800
Suy ra: = 1800 - = 1800 - 600 = 1200
Vậy, các góc còn lại của tứ giác ABCD là: = 600; =1000; = 1200.
3.2. Trắc nghiệm
Bài 4: Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp. Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu đúng là:
- = 900
- = 1800
- = 900
- = 1800
+ Trong tứ giác ABCD, là góc đối diện với .
+ Theo đề, tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên: = 1800
Chọn câu B
Bài 5: Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp. Biết = 750 , khi đó:
- = 750
- = 750
- = 1050
- = 1050
+ Trong tứ giác ABCD, là góc đối diện với .
+ Theo đề, tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên: = 1800
Suy ra: = 1800 - = 1800 - 750 = 1050
Chọn câu C
Bài 6: Cho các phát biểu sau đây:
(1) Hình bình hành là một tứ giác nội tiếp
(2) Hình chữ nhật là một tứ giác nội tiếp
(3) Hình thang vuông là một tứ giác nội tiếp
(4) Hình vuông là một tứ giác nội tiếp
Các phát biểu đúng là:
- (1), (3)
- (1), (2)
- (3), (4)
- (2), (4)
Hình chữ nhật và hình vuông là các tứ giác nội tiếp vì tổng hai góc đối diện trong hình chữ nhật và hình vuông bằng 1800.
Chọn câu D
Mong rằng thông qua bài chuyên đề tứ giác nội tiếp, các em hãy ghi nhớ và nắm vững các cách chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp, đồng thời áp dụng vào giải quyết các bài tập liên quan. Chúc các em ôn tập, chuẩn bị thật tốt cho những kỳ thi quan trọng sắp tới.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
